HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR

Oleh: H. Karso
FPMIPA UPI




A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Dua Vektor


     1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di R2


          Perkalian diantara dua vektor tidak seperti perkalian diantara dua bilangan real. Perkalian diantara dua bilangan real hasil kalinya adalah sebuah bilangan real lagi. Namun hasil kali dua vektor belum tentu demikian. Ada beberapa jenis perkalian vektor dengan notasi dan hasil yang berbeda. Ada perkalian titik (dot product), ada perkalian silang (cross product), dan ada pula perkalian bar (bar product). Khusus dalam kegiatan belajar yang ini, hanya akan dibahas tentang perkalian titik atau hasil kali skalar dari dua vektor. Hal ini disesuaikan dengan Garis-garis Besar Program Pengajaran Mata Kuliah Aljabar Linear.


          Kita perhatikan dua buah vektor yang bukan merupakan vektor nol, misalnya

dan yang dimaksud dengan hasil kali skalar (scalar product) dari dua vektor, yaitu vektor u dan vektor v adalah bentuk

dengan (teta) adalah sudut yang dibentuk diantara u dan v, 

          Apakah Anda masih ingat salah satu aturan (rumus Cosinus) yang berlaku dalam segitiga ABC? (Trigonometri). Tentunya salah satu diantaranya seperti berikut (Gambar 4. 37).

Sekarang kita perhatikan ruas kiri dan ruas kanan dari rumus di atas, yaitu :

Ruas kanan :

Ruas kiri :

          Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan dari rumus cosinus di atas, maka (1) = (2), atau 

          Kombinasi bentuk u1v1 + u2v2 diberi nama dan lambang yang khusus, yaitu sebagai perkalian titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product), dan diberi lambang u . v. Karena penulisan ini, maka perkalian titik itu adalah :

          Kita sudah mengetahui, bahwa jika (teta) sudut lancip, maka tentunya Cos (teta) adalah positif, berarti u . v positif. Sedangkan jika (teta) sudut tumpul, maka Cos (teta) adalah negatif, berarti u . v negatif. Demikian pula sebaliknya jika u . v positif, maka Cos (teta) adalah positif dan (teta) adalah sudut lancip. Sedangkan jika u . v negatif, maka Cos (teta) adalah negatif dan (teta) adalah sudut tumpul.

Tentunya besar sudut dapat kita cari (pakai kalkulator atau daftar matematika)

c) Sudut diantara u dan v ( ).

          Karena u . v positif dan Cos juga positif, maka adalah sudut lancip.

          Sekarang bagaimana jika kedua vektor itu saling tegak lurus ? Karena kedua vektor u dan v saling tegak lurus, maka sudut diantara keduanya adalah 90o atau 

Vektor dan Operasinya

Tujuan:

1. Mengingat kembali definisi vektor secara geometri dan aljabar.
2. Mahir menghitung perkalian titik, panjang vektor, sudut antara dua vektor, vektor proyeksi.
3. Mahir menghitung perkalian silang dan memahami arti geometris serta penggunaannya.
4. Mahir menghitung perkalian tripel skalar dan memahami arti geometris serta penggunaannya.


Skalar: besaran saja
Vektor: besaran dan arah


Vektor secara geometri





Vektor pada sistem koordinat (aljabar)

Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius):

 

 (di ruang dimensi tiga)

Perkalian Titik

Sifat operasi perkalian titik

 

Matriks dan Operasi Matriks

Definisi.               Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut entri dalam matriks tersebut.

                Contoh Beberapa contoh matriks adalah

Definisi.               Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan entri-entrinya yang berpadanan sama.

                Contoh Tinjau matriks-matriks berikut:

Jika x = 5 maka A = B, tetapiuntuk nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama, karena tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A = C karena A dan C memiliki ukuran yang berbeda.

Definisi.               Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama , maka jumlah A dan B adalah matriks yang diperloeh dengan menambahkan entri B dengan entri-entri A yang berpadanan, dan selisih A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Mtriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.

Definisi.               Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c.

Definisi.          

Jika A adalah sebuah matriks m × r dan B  adalah sebuah matriks r × n, maka hasilkali AB adalah matriks m × n yang entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut: Untuk mencari enri dalam baris i dan kolom j dari kolom AB, pilih baris i  dari matriks A dan kolom j dari matriks B. 

Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasilnya. 

                Contoh. Tinjau matriks-matriks

Karena A adalah matriks 2×3 dan B adalah matriks 3×4, maka hasil kali AB adalah 2×4. Misalnya untuk menentukan entri pada baris 1 dan kolom 4 dari AB, kita memilih baris 1 dari A dan kolom 4 dari B. diilustrasikan sebagai berikut: menentukan entri pada baris 1 dan kolom 4 dari AB, kita memilih baris 1 dari A dan kolom 4 dari B. diilustrasikan sebagai berikut:

Definisi.               Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka trace A, dinyatakan dengan tr(A), didefinisikan sebagi jumlah ari entri-entri pada diagonal utama A. Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar.

Contoh Berikutini adalah contoh-contoh matriks dan tracenya.