HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR

Oleh: H. Karso
FPMIPA UPI




A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Dua Vektor


     1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di R2


          Perkalian diantara dua vektor tidak seperti perkalian diantara dua bilangan real. Perkalian diantara dua bilangan real hasil kalinya adalah sebuah bilangan real lagi. Namun hasil kali dua vektor belum tentu demikian. Ada beberapa jenis perkalian vektor dengan notasi dan hasil yang berbeda. Ada perkalian titik (dot product), ada perkalian silang (cross product), dan ada pula perkalian bar (bar product). Khusus dalam kegiatan belajar yang ini, hanya akan dibahas tentang perkalian titik atau hasil kali skalar dari dua vektor. Hal ini disesuaikan dengan Garis-garis Besar Program Pengajaran Mata Kuliah Aljabar Linear.


          Kita perhatikan dua buah vektor yang bukan merupakan vektor nol, misalnya

dan yang dimaksud dengan hasil kali skalar (scalar product) dari dua vektor, yaitu vektor u dan vektor v adalah bentuk

dengan (teta) adalah sudut yang dibentuk diantara u dan v, 

          Apakah Anda masih ingat salah satu aturan (rumus Cosinus) yang berlaku dalam segitiga ABC? (Trigonometri). Tentunya salah satu diantaranya seperti berikut (Gambar 4. 37).

Sekarang kita perhatikan ruas kiri dan ruas kanan dari rumus di atas, yaitu :

Ruas kanan :

Ruas kiri :

          Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan dari rumus cosinus di atas, maka (1) = (2), atau 

          Kombinasi bentuk u1v1 + u2v2 diberi nama dan lambang yang khusus, yaitu sebagai perkalian titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product), dan diberi lambang u . v. Karena penulisan ini, maka perkalian titik itu adalah :

          Kita sudah mengetahui, bahwa jika (teta) sudut lancip, maka tentunya Cos (teta) adalah positif, berarti u . v positif. Sedangkan jika (teta) sudut tumpul, maka Cos (teta) adalah negatif, berarti u . v negatif. Demikian pula sebaliknya jika u . v positif, maka Cos (teta) adalah positif dan (teta) adalah sudut lancip. Sedangkan jika u . v negatif, maka Cos (teta) adalah negatif dan (teta) adalah sudut tumpul.

Tentunya besar sudut dapat kita cari (pakai kalkulator atau daftar matematika)

c) Sudut diantara u dan v ( ).

          Karena u . v positif dan Cos juga positif, maka adalah sudut lancip.

          Sekarang bagaimana jika kedua vektor itu saling tegak lurus ? Karena kedua vektor u dan v saling tegak lurus, maka sudut diantara keduanya adalah 90o atau