TITIK DAN GARIS

1. Titik, garis, sinar dan ruas garis


          Geometri dibangun atas dasar unsur-unsur yang tidak didefinisikan yaitu: titik, garis, dan bidang. Titik dipahami secara intuisi sebagai sebuah noktah yang sangat kecil, biasanya diilustrasikan dengan sebuah noktah dengan menekan ujung pensil pada kertas atau kapur tulis di papan tulis. Bidang yang dimaksud di sini adalah bidang datar yang tiada bertepi, seperti permukaan lantai yang rata tetapi tidak memiliki batas. Garis yang dimaksud di sini adalah garis lurus yang tidak memiliki ujung dan pangkal. Untuk menggambar garis sebuah garis menggunakan tanda panah diujung-ujungnya, sebagai tanda bahwa garis tersebut sebenarnya tidak berujung. Gambar 1.1 (i) mengilustrasikan sebuah garis AB, dan dilambangkan dengan AB. Di samping itu dikenal pula istilah ruas garis (segmen) dan sinar. Gambar 1.1 (ii) mengilustrasikan sebuah ruas garis EF, dilambangkan dengan EF .


          Ruas garis memiliki dua titik ujung, E dan F merupakan titik-titik ujung EF . Gambar 1.1 (iii) mengilustrasikan sebuah sinar PQ, dilambangkan dengan PQ. Sinar memiliki hanya sebuah titik ujung yang biasa disebut titik pangkal. Titik P merupakan titik pangkal dari PQ. Jika tiga titik atau lebih terletak pada sebuah garis, maka titik-titik itu disebut kolinear seperti terlihat pada Gambar 1.1 (iv).

         Himpunan titik-titik pada sebuah bidang, tidak selalu berbentuk garis, ruas garis, atau sinar. Ada bentuk lain yang merupakan himpunan titik-titik pada sebuah bidang, yang dikenal sebagai kurva. Kurva dipandang sebagai goresan pensil pada kertas mulai dari satu titik hingga sebuah titik tempat pensil diangkat. Gambar 1.2 (i) mengilustrasikan himpunankurva, Gb. 1.2 (ii) himpunan kurva tertutup, dan Gb. 1.2 (iii) himpunan kurva tertutup sederhana.

          Apabila ada dua garis yang terletak pada suatu bidang yang sama maka terdapat tiga kemungkinan kedudukan dua garis itu (lihat Gambar 1.3), yaitu : (i) berpotongan, (ii) sejajar, atau (iii) berimpit.

          Untuk keperluan menggambarkan garis-garis pada suatu bidang dikenal pula istilah garis horizontal dan garis vertikal. Pada papan tulis (berbentuk persegipanjang), yang dimaksud dengan garis horizontal adalah garis yang digambar sejajar dengan tepi bawah (atas). Garis yang digambar sejajar dengan tepi kiri (kanan) disebut garis vertikal. Pada Gambar 1.4, garis ƒÐ1 merupakan garis horizontal dan garis ƒÐ2 garis merupakan garis vertikal.

2. Aksioma Insidensi


   1. Jika sesuatu itu garis, maka sesuatu itu himpunan titik.
   2. Jika sesuatu itu bidang, maka sesuatu itu himpunan titik.
   3. Jika diberikan dua titik yang berbeda, maka terdapat tepat sebuah garis yang melaluinya.
   4. Jika diberikan tiga titik yang berbeda dan tidak segaris (kolinear), maka terdapat tepat sebuah bidang
       yang memuatnya.
   5. Jika dua titik yang berbeda terletak pada sebuah bidang, maka garis yang melalui titik itu terletak pada
       bidang tersebut.
   6. Jika dua buah bidang berpotongan maka perpotongannya meruapakan sebuah garis.


       Teorema-teorema:
   1. Jika dua garis yang berbeda berpotongan, maka perpotongannya tepat di satu titik.
   2. Jika sebuah garis memotong sebuah bidang yang tidak memuat garis itu, maka perpotongannya sebuah
       titik.
   3. Jika sebuah titik terletak di luar sebuah garis, maka terdapat tepat sebuah bidang yang memuat titik dan
       garis itu.




3. Jarak


         Dalam keseharian, sering kita mendengar ungkapan: “Jarak dari Bandung ke Jakarta.adalah 180 km.”. Apakah kata jarak yang dimaksud dalam keseharian itu sama dengan kata jarak dalam matematika ?. Perhatikan kalimat di atas, kata jarak dipergunakan bila ada dua tempat yang berbeda, dalam hal ini Bandung dan Jakarta. Disamping itu jarak terkait dengan suatu bilangan, dalam hal ini bilangan 180. Demikian halnya dengan matematika, jarak terkait dengan dua titik yang berbeda, misal titik A dan B. Jarak titik A ke B dinyatakan dengan bilangan. Akan tetapi ada sedikit perbedaan yaitu: Pada kalimat “Jarak dari Bandung ke Jakarta.adalah 180 km.”yang 180 km itu panjang lintasan yang ditempuh kereta-api atau panjang lintasan yang ditempuh sebuah mobil ? Hal ini menghasilkan tafsiran yang berbeda, sehingga bilangan yang menyatakan jarak Bandung Jakarta itu bisa berbeda. Dalam matematika haruslah jawabnya harus tunggal. Manakah jarak Bandung Jakarta menurut matematika?

          Dari gambar di atas jarak Bandung Jakarta diwakili oleh ruas garis yang menghubungkan Bandung dengan Jakarta. Tentu saja jarak tersebut harus dikalikan dengan skala pada peta yang bersangkutan. Secara matematika: Jarak antara titik A ke titik B dilambangkan dengan AB bermakna bilangan yang menyatakan
panjang AB.




Definisi:
Misalkan f : L  R adalah sebuah korespondensi satu-satu antara garis L dan bilangan real. f disebut sistem koordinat untuk garis L jika dan hanya jika untuk setiap titik P dan Q berlaku PQ =  f(P) – f(Q). Untuk setiap titik P pada L, bilangan x = f(P) disebut koordinat P.
Teorema-teorema:
1. Jika f adalah sebuah sistem koordinat untuk sebuah garis L, dan g(P) = - g(P) untuk setiap titik P pada
    garis L, maka g adalah sebuah sistem koordinat untuk L.
2. Jika f adalah sebuah sistem koordinat untuk sebuah garis L, dan a sembarang bilangan real dan untuk
    setiap titik P pada garis L g(P) = f(P) + a, maka g adalah sebuah sistem koordinat untuk L.
3. Teorema Penempatan Penggaris (Ruler Placement theorem). Misalkan L adalah sebuah garis dan P, Q
    adalah dua titik sembarang yang terletak pada garis L. Maka L mempunyai sistem koordinat dengan
    koordinat P adalah 0 dan koordinat Q bilangan positif.